6.2 Alternierende Reihen

6.2.1 LEIBNIZ-Kriterium

Satz (alternierende Reihen):

Es sei die Folge $(aj)$ gegeben mit $aj > 0$ , $aj > aj+1$ , $aj '--> 0$ für $j '--> oo$ . Dann konvergiert die Reihe $oo sum j ( sum n j ) a0- a1 + a2- a3± ...= (- 1)aj = nl'-->imo o (- 1)aj j=0 j=0------- sn$ mit dem Wert $s$ . Es gelten:

$s2k+1 < s<-s2k ak bk$ $k = 0,1,2,...$
$|s - sn|< an+1$

6.2.2 Die alternierende harmonische Reihe

1 1 1 oo sum 1 1 - 2 + 3- 4 + ...= (-1)jj-+1-= ln2 j=0

Die alternierende harmonische Reihe ist somit konvergent.

1 1 aj = j-+-1 2 = s1 < ln 2 < x0 = 1

-7 = 1- 1+ 1 - 1 = s < ln2 < s = 1- 1 + 1 = 10 12 2 3 4 3 2 2 3 12

sum oo ( )n e = 1-= lim 1+ 1- , 5 < e < 3 k= k! n'--> oo n 2

V~ - lim n c = 1 f¨ur c > 0 n'-->o o

lim n V~ n-= 1 n'-->o o

n V~ -- nl'-->imo o n! = oo

Die letzte Reihe ist bestimmt divergent.

Satz (Intervallschachtelung):

$(an)$ sei monoton steigend, $(bn)$ monoton fallend, $an < bn$ $A$ $n$ und es sei $nl'-->imo o (bn - an) = 0$ . Dann gelten:

$nli'-->mo o an = nli'-->mo o bn = x$ und $an < x < bn$ $A$ $n$

Satz (LEIBNIZkriterium):

Für die Folge $(aj)$ gelte $aj > 0$ , $aj > aj+1$ und $aj '--> 0$ für $j '--> oo$ . Dann hat man:

$sum n j s = lnim'--> oo (- 1)aja0- a1 + a2± ... -- j=0 sn$ und $s2k+1 < s < s2k$ , $k = 0$ , 1, 2, $...$ . und $|s- sn|< an+1$ , $k = 0$ , 1, 2, $...$ .

Satz:

$n s = sum a k=0 k$ sei konvergent. Dann gilt $a '--> 0 k$ für $k '--> oo$ .

$oo sum sn = ak '--> s(n '--> oo ) k=0$

$n-1 ~s = sum a '--> s(n '--> oo ) n k=0 k$

Aus $|ak|> C > 0$ für fast alle $k$ folgt, daß $sum oo ak k=0$ divergent ist. Die geometrische Reihe ist konvergent für $|q|< 1$ . Für $|q|> 1$ folgt Divergenz. Aus $ak '--> 0$ für $k '--> oo$ folgt im allgemeinen nicht, daß $sum ak$ konvergiert (wie man anhand der harmonischen Reihe erkennt).

(s =)a0 -a1 ± ...+ a2k- a2k+1 + a2k+2- a2k+3± ...

Es gilt $s2k+1 < s2k+3$ und $s2k > s2k+2$ ; damit ist $(s2k+1)$ monoton steigend und $(s2k)$ monoton fallend. Somit ist $s2k+1 < s2k$ erfüllt und es ergibt sich $s2k- s2k+1 = a2k+1 '--> 0$ für $k '--> oo$ . Daraus folgt der angegeben Satz: